Draft:Maris-Tandy Modell

 

Das Maris-Tandy Modell ist eine Näherung in der Quantenchromodynamik (QCD), um die zugehörigen Dyson-Schwinger-Gleichungen zu lösen. Im Allgemeinen sind diese ein unendlicher Turm aus Gleichungen für die Berechnung der Quark- und Gluonen-Propagatoren, welche dann dazu dienen, die wichtigsten Größen in der QCD zu berechnen. So lässt sich zum Beispiel aus der Dyson-Schwinger Gleichung die Bethe-Salpeter-Gleichung ableiten, welche es möglich macht, den Grundzustand von Mesonen zu berechnen. Maris und Tandy fanden nun ein phänomenologisch begründetes Modell zur Berechnung der Quark-Gluonen Wechselwirkung, durch welchen sich die unendlich vielen Dyson-Schwinger Gleichungen vereinfachen und lösen lassen..

Mathemasche Beschreibung

Die nicht-renommierte Quark-Dyson-Schwinger Gleichung für den Quark Propagator $S$ lautet

$S^{-1}(p)=S_0^{-1}(p)+C_f{g}^2\underset{q}{\int }{\gamma }^{\mu }S(q){\mathrm{\Gamma }}^{\nu }(q,p-q)D^{\mu ,\nu }(p-q).$

mit dem Farbfaktor $C_f=4/3$, der Kopplungskonstante $g^2$, dem Quark-Gluon Vertex ${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }$, dem Gluon Propagator $D^{\mu \nu }$ und den Dirac-Matrizen ${\gamma }^{\nu }$. Eine sehr beliebte Näherung in der Quantenfeldtheorie ist die "rainbow-ladder" Approximation. Mit dieser vereinfacht sich die komplizierte Matrix des Quark-Gluonen Vertex zu einer einzigen Funktion $𝒢$

${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }(k^2)\to {\gamma }^{\mu }𝒢(k^2)$

Das Maris-Tandy Modell gibt nun eine Formel für diese effektive Kopplungskonstante $𝒢$

$$g^2𝒢(q^2)=\frac{4{\pi }^2}{{\omega }^6}{d}_{\mathrm{I}\mathrm{R}}{q}^2{e}^{-q^2/{\omega }^2}+\frac{4{\pi }^2{\gamma }_m}{\ln [e^2-1+{(1+q^2/{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{Q}\mathrm{C}\mathrm{D}})}^2]}\frac{1-e^{-q^2/(4m_{\mathrm{t}}^2)}}{q^2}.$$

Die Parameter $d_{\mathrm{I}\mathrm{R}}$ and $\omega$ geben die Stärke und Skala des infraroten Bereichs an. Der zweite Term beschreibt das asymptotische Verhalten der QCD , mit dessen charakteristischen Skala ${\mathrm{\Lambda }}_{QCD}$. Der UV-Term enthält einen weiteren Parameter $m_t$ und eine Konstante ${\gamma }_m=12/(33-N_f)$, welche durch die Anzahl an Quark-Flavours $N_f$ gegeben ist. Dieser Term führt allerdings zu UV-Divergenzen, für welchen folglich Renormierung benötigt wird.

Anwendungen

Das Maris-Tandy Modell hat durch dessen Einfachheit viele Anwendungen. So lässt sich zum Beispiel als erste Anwendung die Quarkmasse in Abhängigkeit des Impulses berechnen, was zum erwarteten Anstieg der Quarkmasse bei niedrigen Impulsen führt. Dies entspricht genau dem Effekt, dass die "nackte" Quarkmasse deutlich niedriger ist, als die beobachte Masse von zum Beispiel Pionen oder Protonen.

Aber auch kompliziertere Anwendungen sind möglich: So lässt sich mithilfe der homogenen Bethe-Salpeter-Gleichung die Masse und Zerfallskonstanten von Pionen, Kaonen oder anderen Vektor-Mesonen berechnen. Auch lassen sich damit elastische Formfaktoren oder Strahlungsübergänge von Mesonen bestimmen. Aber auch Baryonen können mithilfe der Faddeev-Gleichung untersucht werden. So kann unteranderem das Massenspektrum und die Struktur von Baryonen berechnet werden