Draft:Signum funkcija

Signum funkcija $y=\mathrm{sgn}x$

V matematiki je funkcija signum (iz signum, latinsko za "znak") funkcija, ki ima vrednost Template:Tl, Template:Tl ali Template:Tl glede na to, ali je znak danega realnega števila pozitiven ali negativen ali pa je nič. V matematičnem zapisu je funkcija znaka pogosto predstavljena kot $\mathrm{sgn}x$ oz $\mathrm{sgn}(x)$.

Definicija

Signum funkcija realnega števila x je kosovno porazdeljena funkcija, ki je definirana na naslednji način: $$\mathrm{sgn}x:=\{\begin{array}{cc}-1& \text{za}x<0,\\ 0& \text{za}x=0,\\ 1& \text{za}x>0.\end{array}$$

Zakon trihotomije pravi, da mora biti vsako realno število pozitivno, negativno ali nič. Funkcija signum označuje, v katero edinstveno kategorijo spada število, tako da ga preslika v eno od vrednosti -1, +1 ali 0, ki se lahko nato uporabi v matematičnih izrazih ali nadaljnjih izračunih.

Na primer: $$\begin{array}{ccc}\mathrm{sgn}(2)& =& +1,\\ \mathrm{sgn}(\pi )& =& +1,\\ \mathrm{sgn}(-8)& =& -1,\\ \mathrm{sgn}(-\frac{1}{2})& =& -1,\\ \mathrm{sgn}(0)& =& 0.\end{array}$$

Osnovne lastnosti

Vsako realno število lahko izrazimo kot produkt njegove absolutne vrednosti in njegove signum funkcije: $$x=|x|\mathrm{sgn}x.$$

Iz tega sledi, da kadar koli $x$ ni enak 0, imamo$$\mathrm{sgn}x=\frac{x}{|x|}=\frac{|x|}{x}.$$

Podobno velja za vsako realno število $x$, $$|x|=x\mathrm{sgn}x.$$ Prav tako smo lahko prepričani, da: $$\mathrm{sgn}(xy)=(\mathrm{sgn}x)(\mathrm{sgn}y),$$ in tako $$\mathrm{sgn}(x^n)=(\mathrm{sgn}x{)}^n.$$